Lũy thừa là gì? Tính chất của lũy thừa với số mũ thực, căn bậc n và tính chất căn bậc n

Lũy quá là định nghĩa rất gần gũi với những em vì chưng tất cả chúng ta đã trải quen thuộc kể từ lớp 6. Trong toán giải tích 12 định nghĩa lũy quá sẽ tiến hành tất cả chúng ta lần hiểu thâm thúy rộng lớn.

Bạn đang xem: tính chất luỹ thừa

Bài viết lách bên dưới đây chúng tao tiếp tục nằm trong lần hiểu định nghĩa lũy quá, lũy quá với số nón nguyên vẹn, hữu tỉ, vô tỉ và số nón thực; về phương trình xⁿ = a, căn bậc n và đặc điểm của căn bậc n.

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy quá với số nón nguyên

- Cho n là một trong những nguyên vẹn dương.

- Với a là một trong những thực tùy ý, lũy quá bậc n của a là tích của n quá số a.

aⁿ = a.a.a......a (n quá số a)

Với a ≠ 0 thì a⁰ = 1, $\small a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

> Chú ý: 0ⁿ và 0^-n không tồn tại nghĩa

Lũy quá với số nón nguyên vẹn với những đặc điểm tương tự động của lũy quá với số nón nguyên vẹn dương.

2. Căn bậc n

a) Định nghĩa căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên vẹn dương n (n ≥ 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ = b.

> Chú ý:

+) Với n lẻ và b ∈ R thì với độc nhất 1 căn bậc n của b, kí hiệu $\small \sqrt[n]{b}$

+) Với n chẵn và:

b<0 thì ko tồn bên trên căn bậc n của b.

b=0 thì với độc nhất 1 căn bậc n của b là số 0.

b) Tính hóa học của căn bậc n

- Từ khái niệm tao với những đặc điểm sau:

$\small \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\small \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

$\small (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

$\dpi{100} \small \sqrt[n]{a^n}=\left\{\begin{matrix} a,\: Khi \: n\: ch\tilde{\check{a}}n\\|a|,\: Khi \: n\: l\acute{e} \end{matrix}\right.$

$\small \sqrt[n]{{\sqrt[k]a}}=\sqrt[nk]{a}$

3. Lũy quá với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực a dương và số hữu tỉ $\small r=\frac{m}{n}$ , nhập cơ m∈Z, n∈N^*. Lũy quá của số a với số nón r là số a^r xác lập bởi:

$\small a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

> Chú ý: $\small a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

* Ví dụ: $\small 27^{-\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{27^{-4}}=\sqrt[3]{\frac{1}{27^4}}$ $\small =\frac{1}{\sqrt[3]{27^4}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$

II. Tính hóa học của lũy quá với số nón thực

Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi cơ tao có:

$\small a^\alpha .a^\beta =a^{\alpha +\beta }$

$\small \frac{a^\alpha}{a^\beta} =a^{\alpha -\beta }$

$\small (a^\alpha )^\beta =a^{\alpha \beta }$

$\small (ab)^\alpha =a^{\alpha }b^{\alpha }$

$\small \left ( \frac{a}{b} \right )^{\alpha }=\frac{a^\alpha }{b^\alpha }$

Nếu a>1 thì a^α > a^β ⇔ α > β.

Nếu a<1 thì a^α > a^β ⇔ α < β

III. Câu căn vặn vận dụng

Xem thêm: cách sử dụng movie maker win 10

* Câu căn vặn 1 trang 50 SGK Toán 12 Giải tích: Tính (1,5)⁴; ((-2)/3)³; (√3)⁵.

> Lời giải:

- Ta có: (1,5)⁴ = 5.0625; [(-2)/3]³=-8/27; (√3)⁵ = 9√3.

* Câu căn vặn 2 trang 51 SGK Toán 12 Giải tích: Dựa nhập đồ dùng thị của những hàm số nó = x³ và nó = x⁴ (H.26, H.27), hãy biện luận theo đòi b số nghiệm của những phương trình x³ = b và x⁴ = b.

Câu căn vặn 2 trang 51 sgk toán 12 giải tích

> Lời giải:

° Số nghiệm của phương trình x³ = b là số phó điểm của nhị đồ dùng thị hàm số nó = b và nó = x³.

Dựa nhập H.26 tao với đồ dùng thị hàm số nó = x³ luôn hạn chế đường thẳng liền mạch nó = b bên trên một điểm độc nhất với từng b nên phương trình x³ = b luôn luôn với nghiệm độc nhất với từng b.

° Số nghiệm của phương trình x⁴ = b (1) là số phó điểm của nhị đồ dùng thị hàm số nó = b và nó = x⁴. Dựa và H.27 tao có:

- Với b < 0 nhị đồ dùng thị hàm số bên trên ko phó nhau, vậy phương trình (1) vô nghiệm.

- Với b = 0, nhị đồ dùng thị hàm số xúc tiếp nhau bên trên (0,0), vậy phương trình (1) với nghiệm độc nhất x = 0.

- Với b > 0, nhị đồ dùng thị hàm số hạn chế nhau bên trên nhị điểm phân biệt, vậy phương trình (1) với nhị nghiệm phân biệt.

* Câu căn vặn 3 trang 53 SGK Toán 12 Giải tích: Chứng minh tính chất $\small \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ .

> Lời giải:

- Đặt $\small \sqrt[n]{a}=x;\: \sqrt[n]{b}=y$ khi đó: xⁿ = a, yⁿ = b.

Ta với (xy)ⁿ = xⁿ.yⁿ = a.b.

Vậy xy là căn bậc n của ab.

Suy ra: $\small \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

* Câu căn vặn 4 trang 55 SGK Toán 12 Giải tích: Hãy nói lại những đặc điểm của lũy quá với số nón nguyên vẹn dương.

> Lời giải:

° Các đặc điểm về đẳng thức của lũy quá với số nón nguyên vẹn dương

1. a^m. aⁿ = a^(m+n)

2. a^m : aⁿ = a^(m-n) (m ≥ n).

3. (a^m)ⁿ = a^mn

4.(a/b)^m = a^m / b^m (b ≠ 0)

5. (ab)^m = a^m.b^m

° Các đặc điểm về bất đẳng thức của lũy quá với số nón nguyên vẹn dương

- Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n.

- Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

- Với 0 < a < b thì a^m > b^m

* Câu căn vặn 5 trang 56 SGK Toán 12 Giải tích: Rút gọn gàng biểu thức:

$\small \frac{(a^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1}}{a^{\sqrt{5}-3}.a^{4-\sqrt{5}}};\: (a>0)$

> Lời giải:

- Ta có: $\small \frac{(a^{\sqrt{3}-1})^{\sqrt{3}+1}}{a^{\sqrt{5}-3}.a^{4-\sqrt{5}}} =\frac{a^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}{a^{(\sqrt{5-3+4-\sqrt{5}})}}$ $\small =\frac{a^{3-1}}{a^{1}}=\frac{a^2}{a}=a$

* Câu căn vặn 6 trang 56 SGK Toán 12 Giải tích: So sánh những số $\small \left ( \frac{3}{4} \right )^{\sqrt{8}}$ và $\small \left ( \frac{3}{4} \right )^{3}$

> Lời giải:

- Ta có: $\small 0<\frac{3}{4}<1$ và $\small \sqrt{8}<3$ nên $\small \left ( \frac{3}{4} \right )^{\sqrt{8}}>\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}$

Trên đây KhoiA.Vn đã ra mắt với những em về Lũy quá, đặc điểm của lũy quá với số nón thực, căn bậc n và đặc điểm căn bậc n. Hy vọng nội dung bài viết hùn những em nắm rõ rộng lớn. Nếu với thắc mắc hoặc hùn ý những em hãy nhằm lại phản hồi bên dưới nội dung bài viết, chúc những em thành công xuất sắc.

Xem thêm: cách làm n