phương trình đối xứng loại 2

Bài ghi chép chỉ dẫn nhận dạng và cơ hội giải hệ phương trình đối xứng loại 2 với những việc đem tương quan cho tới hệ phương trình đối xứng loại 2.

Bạn đang xem: phương trình đối xứng loại 2

I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình đem dạng: $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = a\\
f\left( {y;x} \right) = a
\end{array} \right.$ $(*).$
2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2:
Trừ nhị phương trình của hệ lẫn nhau tớ được: $f\left( {x;y} \right) – f\left( {y;x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
g\left( {x;y} \right) = 0
\end{array} \right.$
3. Chú ý:
+ Nếu hệ phương trình $(*)$ đem nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng chính là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ cơ suy đi ra, nếu như hệ phương trình $(*)$ đem nghiệm có một không hai thì ĐK phải là ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
+ $f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a$ là một phương trình đối xứng.

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải những hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 3x + 2y\\
{y^2} = 3y + 2x
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 1 = 2y\\
{y^3} + 1 = 2x
\end{array} \right.$

1. Trừ vế với vế nhị phương trình của hệ, tớ được:
${x^2} – {y^2} = x – y$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + nó – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = 1 – y
\end{array} \right.$
+ Với $x = nó \Rightarrow {x^2} = 3x$ $ \Leftrightarrow x = 0,x = 3.$
+ Với $x = 1 – y$ $ \Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 – y} \right)$ $ \Leftrightarrow {y^2} – nó – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 1 \Rightarrow x = 2\\
y = 2 \Rightarrow x = – 1
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)$, $\left( { – 1;2} \right),\left( {2; – 1} \right).$
2. Trừ nhị phương trình của hệ, tớ được:
${x^3} – {y^3} = 2\left( {y – x} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = y$ (do ${x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0$, $\forall x,y$).
Thay vô hệ phương trình, tớ được:
${x^3} + 1 = 2x$ $ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}
x = nó = 1\\
x = nó = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$

Ví dụ 2. Giải những hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\
\frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} = 8\\
\sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} = 8
\end{array} \right.$

1. Điều kiện: $x,nó \ne 0.$
Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^3} + {x^2}y = 3\\
2{y^3} + {y^2}x = 3
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) + xy\left( {x – y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = y$ (do $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}$ $ = 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0$).
Thay vô hệ phương trình, tớ được: $3{x^3} = 3$ $ \Leftrightarrow x = 1 = nó.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm $x=y=1.$
2. Điều kiện: $x,nó \ge 7.$
Trừ nhị phương trình của hệ, tớ được:
$\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} $ $ = \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} $ $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y – 7} \right)} $ $ = \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x – 7} \right)} $ $ \Leftrightarrow x = nó.$
Thay vô hệ phương trình, tớ được:
$\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\\
\sqrt {x + 9} – \sqrt {x – 7} = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} = 5\\
\sqrt {x – 7} = 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 16.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm: $x=y=16.$

Ví dụ 3. Giải những hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x + \sqrt {2 – y} = 2\\
\sqrt nó + \sqrt {2 – x} = 2
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – y} = 7\\
\sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 – x} = 7
\end{array} \right.$

1. Điều kiện: $0 \le x,nó \le 2.$
Trừ nhị phương trình của hệ, tớ được:
$\sqrt x – \sqrt {2 – x} $ $ = \sqrt nó – \sqrt {2 – y} $ $\left( * \right).$
Do hàm số $f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 – t} $ là một hàm liên tiếp và đồng biến hóa bên trên $(0;2).$
Nên $\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $ \Leftrightarrow x = nó.$
Thay vô hệ phương trình, tớ có:
$\sqrt x + \sqrt {2 – x} = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 – x} \right)} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm: $x=y=1.$
2. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{5} \le x \le 12\\
– \frac{1}{5} \le nó \le 12
\end{array} \right.$
Trừ nhị phương trình của hệ, tớ được:
$\sqrt {5x + 1} – \sqrt {12 – x} $ $ = \sqrt {5y + 1} – \sqrt {12 – y} $ $(*).$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} – \sqrt {12 – t} $, $t \in \left[ { – \frac{1}{5};12} \right]$, tớ có:
$f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 – t} }} > 0$, $\forall t \in \left( { – \frac{1}{5};12} \right).$
Suy ra: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( nó \right)$ $ \Leftrightarrow x = nó.$
Thay $x=y$ vô hệ phương trình, tớ được:
$\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – x} = 7$ $ \Leftrightarrow 4x + 13$ $ + 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 – x} \right)} = 49$ $ \Leftrightarrow \sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 9\\
9{x^2} – 131x + 312 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm $x=y=3.$
[ads]
Ví dụ 4. Giải những hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\
\left( {y – 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right)
\end{array} \right.$

1. Trừ nhị phương trình của hệ, tớ được:
${x^3} – {y^3} = x – y$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0
\end{array} \right.$
+ Với $x=y$, thay cho vô hệ phương trình, tớ được: ${x^3} = 3x$ $ \Leftrightarrow x = 0$, $x = \pm \sqrt 3 .$
+ Với ${x^2} + xy + {y^2} = 1$ $\left( 1 \right)$, cộng nhị phương trình của hệ phương trình, tớ có: ${x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$, tớ đem hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\\
{x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0
\end{array} \right.$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, tớ có: $\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} – Phường – 1 = 0\\
{S^3} – 3SP – 3S = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = {S^2} – 1\\
{S^3} – 3S\left( {{S^2} – 1} \right) – 3S = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 0\\
P = – 1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem những nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = – \sqrt 3 \\
y = – \sqrt 3
\end{array} \right.$
2. Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\\
y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x
\end{array} \right.$
Trừ vế theo gót vế nhị phương trình của hệ, tớ được:
$2xy\left( {y – x} \right) + 7\left( {x – y} \right)$ $ + \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + nó – 2xy + 7} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x + nó – 2xy + 7 = 0
\end{array} \right.$
+ Với $x=y$, thay cho vô hệ phương trình, tớ được: ${x^2} – 5x + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = nó = 2\\
x = nó = 3
\end{array} \right.$
+ Với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, nằm trong nhị phương trình của hệ tiếp tục cho tới, tớ được: ${x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ tớ đem hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x + nó – 2xy + 7 = 0\\
{x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0
\end{array} \right.$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, tớ đem hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
S – 2P + 7 = 0\\
{S^2} – 5S – 2P + 12 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{S + 7}}{2}\\
{S^2} – 6S + 5 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 4
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.$
+ Với $\left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 4
\end{array} \right.$, ta thấy hệ vô nghiệm.
+ Với $\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình tiếp tục cho tới là: $\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)$, $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).$

Xem thêm: cách tính vải may rèm xếp ly

Ví dụ 5. Tìm $m$ nhằm hệ phương trình sau đem nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}
2x + \sqrt {y – 1} = m\\
2y + \sqrt {x – 1} = m
\end{array} \right.$

Điều kiện: $x,nó \ge 1$. Đặt $a = \sqrt {x – 1} $, $b = \sqrt {y – 1} $ $ \Rightarrow a,b \ge 0$, tớ có:
$\left\{ \begin{array}{l}
2{a^2} + b = m – 2\\
2{b^2} + a = m – 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow 2\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)$ $ + b – a = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {2a + 2b – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a = \frac{{1 – 2b}}{2}
\end{array} \right.$
+ Với $a = b$ $ \Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2$ $ \Rightarrow $ Phương trình đem nghiệm $a \ge 0$ $ \Leftrightarrow m – 2 \ge 0$ $ \Leftrightarrow m \ge 2.$
+ Với $a = \frac{{1 – 2b}}{2}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le b \le \frac{1}{2}\\
4{b^2} – 2b = 2m – 5
\end{array} \right.$, hệ phương trình đem nghiệm $ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le 2m – 5 \le 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm Khi và chỉ Khi $m \ge 2.$

Ví dụ 6. Tìm $m$ nhằm những hệ phương trình sau đem nghiệm duy nhất:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} – nó + m\\
y = {x^2} – x + m
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\\
3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx
\end{array} \right.$

1. Điều khiếu nại cần: Giả sử hệ đem nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng chính là nghiệm của hệ nên nhằm hệ đem nghiệm có một không hai thì trước không còn ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
Thay vô hệ tớ được: $x_0^2 – 2{x_0} + m = 0$, phương trình này còn có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1.$
Điều khiếu nại đủ: Với $m = 1$ hệ trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} – nó + 1\\
y = {x^2} – x + 1
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = nó = 1$ (thử lại tớ thấy thỏa mãn nhu cầu hệ).
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm duy nhất lúc và chỉ Khi $m = 1.$
2. Điều khiếu nại cần: Giả sử hệ đem nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng chính là nghiệm của hệ nên nhằm hệ đem nghiệm có một không hai thì trước không còn ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
Thay vô hệ tớ được: $x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
x_0^2 – 5{x_0} + m = 0\left( * \right)
\end{array} \right.$
Để hệ phương trình đem nghiệm có một không hai thì $(*)$ cần vô nghiệm hoặc đem nghiệm kép $x = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta = 25 – 4m < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 25 – 4m = 0\\
5 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.$
Điều khiếu nại đủ: Với $m > \frac{{25}}{4}$, tớ có:
$\left[ \begin{array}{l}
3{x^2} = y\left( {{y^2} – 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]\\
3{y^2} = x\left( {{x^2} – 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow x,nó \ge 0.$
Cộng nhị phương trình của hệ cùng nhau, tớ được:
$x\left( {{x^2} – 5x + m} \right)$ $ + y\left( {{y^2} – 5y + m} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right]$ $ + y\left[ {{{\left( {y – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow x = nó = 0.$
Vậy hệ phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm duy nhất lúc và chỉ Khi $m > \frac{{25}}{4}.$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = nó + \frac{{{a^2}}}{y}\\
2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}
\end{array} \right.$ đem nghiệm có một không hai với mọi $a \ne 0.$

Điều kiện: $x \ne 0.$
Từ nhị phương trình của hệ $ \Rightarrow x,nó > 0.$
Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\
2{y^2}x = {x^2} + {a^2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow 2xy\left( {x – y} \right) = {y^2} – {x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = y$ (do $x,nó > 0$ $ \Rightarrow 2xy + x + nó > 0$).
Thay vô hệ phương trình, tớ được: ${a^2} = 2{x^3} – {x^2} = f\left( x \right)$ $(*).$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2}$ với $x>0.$
Ta có: $f’\left( x \right) = 2x\left( {3x – 1} \right)$ $ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$
Mà $f\left( 0 \right) = 0$, $f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{{27}}$ và ${a^2} > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ mất có một không hai một nghiệm.
Vậy hệ tiếp tục cho tới luôn luôn đem nghiệm có một không hai với từng $a \ne 0.$

Xem thêm: lập dàn ý cho bài văn nghị luận lớp 7