phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Bài ghi chép Cách chứng tỏ nhì mặt mày phẳng phiu vuông góc vô không khí với cách thức giải cụ thể gom học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài xích tập luyện Cách chứng tỏ nhì mặt mày phẳng phiu vuông góc vô không khí.

Bạn đang xem: phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Cách chứng tỏ nhì mặt mày phẳng phiu vuông góc vô không khí rất rất hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Chứng minh nhì mặt mày phẳng phiu vuông góc

Để chứng tỏ (P) ⊥ (Q), tớ hoàn toàn có thể chứng tỏ vì như thế một trong số cơ hội sau:

- Chứng minh vô (P) sở hữu một đường thẳng liền mạch a tuy nhiên a ⊥ (Q).

- Chứng minh ((P), (Q)) = 90°

* Chứng minh đường thẳng liền mạch vuông góc với mặt mày phẳng

Để chứng tỏ d ⊥ (P), tớ hoàn toàn có thể chứng tỏ vì như thế một trong số cơ hội sau:

- Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với gửi gắm tuyến c của (P) và (Q).

- Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).

- Sử dụng những cơ hội chứng tỏ vẫn biết ở trong phần trước.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD sở hữu AB ⊥ (BCD) . Trong tam giác BDC vẽ những lối cao BE và DF rời nhau ở O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC bên trên K. Khẳng quyết định này tại đây sai ?

A. (ADC) ⊥ (ABE)           B. (ADC) ⊥ (DFK)

C. (ADC) ⊥ (ABC)            D. (BDC) ⊥ (ABE)

Hướng dẫn giải

Ta xét những phương án:

Chọn C

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD sở hữu nhì mặt mày phẳng phiu (ABC) và (ABD) nằm trong vuông góc với (DBC) . Gọi BE và DF là hai tuyến đường cao của tam giác BCD, DK là lối cao của tam giác ACD. Chọn xác định sai trong số xác định sau?

A. (ABE) ⊥ (ADC)           B. (ABD) ⊥ (ADC)

C. (ABC) ⊥ (DFK)            D. (DFK) ⊥ (ADC)

Hướng dẫn giải

Chọn B

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA ⊥ (ABC) và lòng ABC là tam giác cân nặng ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng quyết định này tại đây đúng?

A. H ∈ SB

B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.

C. H ∈ SC

D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi I là trung điểm của BC

⇒ AI ⊥ BC tuy nhiên BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAI)

⇒ SI ⊥ BC   (1)

Khi cơ H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) .

Suy đi ra AH ⊥ BC

Lại có: SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH    (2)

Từ (1) và (2) suy đi ra 3 điểm S; H; I trực tiếp sản phẩm.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC sở hữu nhì mặt mày mặt (SBC) và (SAC) vuông góc với lòng (ABC) . Khẳng quyết định này tại đây sai?

A. SC ⊥ (ABC)

B. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên ( SBC) thì A' ∈ SB .

C. (SAC) ⊥ (ABC)

D. BK là lối cao của tam giác ABC thì BK ⊥ (SAC)

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Ta có:

+ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)

khi cơ AA' ⊥ (SBC) ⇒ AA' ⊥ BC ⇒ A' ∈ BC

Suy đi ra đáp án B sai.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC sở hữu nhì mặt mày mặt (SAB) và (SAC) vuông góc với lòng (ABC) , tam giác ABC vuông cân nặng ở A và sở hữu lối cao AH. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) . Khẳng quyết định này tại đây đúng?

A. SC ⊥ (ABC)

B. (SAH) ⊥ (SBC)

C. O ∈ SC

D. Góc thân thuộc (SBC) và (ABC) là góc ∠SBA

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ BC (vì tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A).

mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ (SBC) ⊥ (SAH)

Khi cơ O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)

Thì suy đi ra O nằm trong SH và ((SBC), (ABC)) = ∠SHA

Vậy đáp án B đúng

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ . Mặt phẳng phiu (A₁BD) ko vuông góc với mặt mày phẳng phiu này bên dưới đây?

A. (AB₁D)             B. (ACC₁A₁)             C. (ABD₁)             D. (A₁BC₁)

Hướng dẫn giải

* Gọi I = AB₁ ∩ A₁B

Tam giác A₁BD đều sở hữu DI là lối trung tuyến nên

Tam giác A₁BD đều sở hữu BJ là lối trung tuyến nên BJ ⊥ A₁D .

Chọn D

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' sở hữu cạnh vì như thế a. Khẳng quyết định này tại đây sai?

A. Tam giác AB’C là tam giác đều.

B. Nếu α là góc thân thuộc AC’ và ( ABCD) thì cosα = √(2/3) .

C. ACC'A' là hình chữ nhật sở hữu diện tích S vì như thế 2a².

D. Hai mặt mày (AA'C'C) và (BB'D'D) ở vô nhì mặt mày phẳng phiu vuông góc cùng nhau.

Xem thêm: phàm nhan tu tien

Hướng dẫn giải

Chọn C

Từ fake thiết tính được AC = a√2

Mặt không giống vì như thế ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên suy đi ra ∠AA'C' = 90°

Xét tứ giác ACC'A' sở hữu

⇒ ACC'A' là hình chữ nhật sở hữu những cạnh a và a√2.

Diện tích hình chữ nhật ACC’A’ là :

S = a.a.√2 = a²√2   (đvdt)

⇒ đáp án C sai.

C. Bài tập luyện vận dụng

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh vì như thế a. Khẳng quyết định này tại đây sai?

A. Hai mặt mày ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.

B. Bốn lối chéo cánh AC’; A’C; BD’; B’D đều bằng nhau và vì như thế .

C. Hai mặt mày ACC’A’ và BDD’B’ là nhì hình vuông vắn đều bằng nhau.

D. AC ⊥ BD'

Lời giải:

Chọn C

Vì theo đòi fake thiết ABCD.A’B’C’D’ tớ đơn giản dễ dàng chỉ ra rằng được:

⇒ đáp án A đích thị.

+ kề dụng đình lý Pytago vô tam giác B’A’D’ vuông bên trên A’ tớ có:

B'D'² = B'A'² + A'D'² = a² + a² = 2a²

Áp dụng quyết định lý Pytago vô tam giác BB’D’ vuông bên trên B’ tớ có:

BD'² = BB'² + B'D'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ BD' = a√3

Hoàn toàn tương tự động tớ tính được phỏng nhiều năm những lối chéo cánh còn sót lại của hình lập phương đều đều bằng nhau và vì như thế a√3 ⇒ đáp án B đích thị.

+ Xét tứ giác ACC’A’ sở hữu

⇒ ACC'A' là hình chữ nhật

hoàn toàn tương tự động tớ cũng chỉ ra rằng BDD’B’ cũng chính là hình chữ nhật sở hữu những cạnh là a và a√3

Hai mặt mày ACC'A' và BDD'B' là nhì hình chữ nhật đều bằng nhau

⇒ đáp án C sai.

Câu 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' . Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng quyết định này tại đây ko đúng?

A. (AA'B'B) ⊥ (BB'C'C)

B. (AA'H) ⊥ (A'B'C')

C. BB'C'C là hình chữ nhật

D. (BB'C'C) ⊥ (AA'H)

Lời giải:

Chọn A

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC

Quảng cáo

Câu 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' sở hữu cạnh lòng vì như thế a, góc thân thuộc nhì mặt mày phẳng phiu (ABCD) và (ABC’) sở hữu số đo vì như thế 60°. Cạnh mặt mày của hình lăng trụ bằng:

A. 3a            B. a√3            C. 2a            D. a√2

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: (ABCD) ∩ (ABC') = AB

Ta có: AB ⊥ BC và AB ⊥ BB' (vì lăng trụ vẫn cho rằng lăng trụ tứ giác đều)

⇒ AB ⊥ (BB'C'C) tuy nhiên C'B ⊂ (BB'C'C) ⇒ AB ⊥ C'B

Mặt khác: CB ⊥ AB

⇒ ((ABCD), (ABC')) = (CB, C'B) = ∠ CBC' = 60°

Áp dụng hệ thức lượng vô tam giác BCC’ vuông bên trên C tớ có:

tan(CBC') = CC'/CB ⇒ CC' = CB.tan(CBC') = a.tan60° = a√3

Câu 4: Cho nhì tam giác ACD và BCD phía trên nhì mặt mày phẳng phiu vuông góc cùng nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. với độ quý hiếm này của x thì nhì mặt mày phẳng phiu (ABC) và (ABD) vuông góc.

Lời giải:

Gọi I và J đợt lượt là trung điểm của CD và AB

Do AC = BC nên tam giác Ngân Hàng Á Châu ACB cân nặng bên trên C sở hữu CJ là lối trung tuyến

⇒ CJ vuông AB    (1)

Tương tự động tớ có: DJ vuông góc AB.   (2)

Lại có: (ABC) ∩ (ABD)= AB   (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ ((ABC); (ABD))= ∠CJD

Vậy nhằm 2 mp(ABC) và (ABD) vuông góc cùng nhau thì tam giác CJD vuông cân nặng bên trên J

(chú ý: ΔCAB = ΔDAB (c.c.c) nên CJ = DJ)

Vậy lựa chọn đáp án A

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA ⊥ (ABC) và lòng ABC vuông ở A. Khẳng quyết định này tại đây sai ?

A. (SAB) ⊥ (ABC)

B. (SAB) ⊥ (SAC) .

C. Vẽ AH ⊥ BC, H ∈ BC ⇒ góc AHS là góc thân thuộc nhì mặt mày phẳng phiu (SBC) và (ABC) .

D. Góc thân thuộc nhì mặt mày phẳng phiu (SBC) và (SAC) là góc ∠SCB

Lời giải:

Chọn D

⇒ đáp án D sai

Săn SALE shopee mon 7:

• Đồ sử dụng học hành giá thành rẻ
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3