Giả sử rằng các bạn vẫn biết định nghĩa lối tròn trĩnh đơn vị chức năng và một số trong những đặc điểm của góc lượng giác và cạnh vô lối tròn trĩnh đơn vị chức năng, câu hỏi này cần thiết tăng lý thuyết của số lượng giới hạn cặp nữa.
Bạn đang xem: chứng minh lim sinx/x=1
Đầu tiên, tất cả chúng ta nên biết một chút ít về số lượng giới hạn cặp.
Giả sử tớ với một số trong những $b$ bị cặp thân thuộc nhị số $a$ và $c$ như sau,
$$a \leq b \leq c$$
Nếu $a$ và $c$ nằm trong vì thế một số trong những $\text{L}$ này cơ, cũng chính vì $b$ bị cặp thân thuộc $a$ và $c$ nên tớ rất có thể suy đi ra được $b$ cũng vì thế $\text{L}$, điều này là trọn vẹn thích hợp tình phù hợp.
Giả sử $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$, tớ ko thể tính thẳng $b$ Lúc $x \to 0$ được, tớ cần thiết lần đi ra nhị số lượng giới hạn $a$ và $c$ nhằm cặp số lượng giới hạn $\frac{\sin x}{x}$ lại, rồi tiếp sau đó chuồn tính $a$ và $c$, này là phát minh của câu hỏi này, thực hiện thế này nhằm lần $a$ và $c$, tớ tiếp tục nên phụ thuộc đặc điểm của những góc lượng giác và cạnh vô lối tròn trĩnh đơn vị chức năng.
Tại sao nên phụ thuộc chúng? Bởi vì thế tất cả chúng ta vẫn với công thức contact thân thuộc góc lượng giác và cạnh vô lối tròn trĩnh đơn vị chức năng, tớ chỉ việc lần đi ra quan hệ thân thuộc bọn chúng, rồi tiếp sau đó rất có thể vận dụng tấp tểnh lý cặp.
Đầu tiên bản thân tiếp tục đi kiếm quan hệ thân thuộc bọn chúng trước, nom vì thế đôi mắt thông thường vô hình phía trên, tớ nhận biết rằng ở đâu đó diện tích S tam giác $\text{OAC}$ dường như như nhỏ rộng lớn diện tích S lối cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$, và diện tích S lối cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ lại nhỏ rộng lớn diện tích S tam giác ngoài $\text{OBC}$, suy nghĩ âm thầm tớ rất có thể vận dụng được tấp tểnh lý cặp tại phần này, việc còn sót lại là nỗ lực trả nó về công thức góc lượng giác demo coi.
Gọi $\theta$ (thay thế mang lại $x$) là góc được tạo nên vì thế nửa đường kính lối tròn trĩnh $\text{OA}$ và $\text{OC}$, tớ có:
$$\sin \theta = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{\text{AD}}{\text{OA}} \Rightarrow \text{AD} = \sin \theta \cdot \text{OA}$$
Mà vô lối tròn trĩnh đơn vị chức năng, phỏng nhiều năm nửa đường kính luôn luôn vì thế $1$, tức là $\text{OA} = \text{OC} = 1$, vậy:
$$\text{AD} = \sin \theta \cdot 1 = \sin \theta$$
Khi phát biểu $\theta$ tiến thủ cho tới $0$, tức là $\theta$ rất có thể tiến thủ kể từ số dương (vùng I) về $0$, cũng rất có thể tiến thủ kể từ số âm (vùng IV) về $0$, vậy nhằm đáp ứng phỏng nhiều năm $\text{AD}$ luôn luôn đích, tớ cần thiết tăng vết độ quý hiếm vô cùng,
$$\text{AD} = |\sin \theta|$$
Có phỏng nhiều năm đoạn $\text{AD}$, tớ rất có thể tính diện tích S tam giác $\text{OAC}$ vì thế,
$$S_{\text{OAC}} = \frac{1}{2} \cdot \text{AD} \cdot \text{OC} = \frac{1}{2} \cdot |\sin \theta| \cdot 1 = \frac{|\sin \theta|}{2}$$
Tiếp theo gót, tớ cần thiết tính diện tích S cung tròn trĩnh $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ (cung với lối màu sắc vàng), tớ hiểu được cả một hình trụ đơn vị chức năng sẽ có được thông số góc là $2 \pi$ radian và với diện tích S là $1 \pi$ radian, vậy một trong những phần nhỏ của hình trụ (tức là cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$) sẽ tiến hành tính bằng phương pháp lấy thông số góc của cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ phân tách cho tất cả thông số góc của hình trụ tiếp sau đó nhân với diện tích S của chính nó đúng không nào này.
$$S_{\stackrel\frown{\text{OAC}}} = \frac{\theta}{2 \pi} \cdot \pi = \frac{\theta}{2}$$
Tương tự động với lí vì thế như bên trên, tớ rất cần phải tăng độ quý hiếm vô cùng vô $\theta$,
$$S_{\stackrel\frown{\text{OAC}}} = \frac{|\theta|}{2}$$
Tiếp theo gót, tính diện tích S của tam giác $\text{OBC}$, tớ cần thiết tính phỏng nhiều năm cạnh $BC$ với,
$$\tan \theta = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{\text{BC}}{\text{OC}} \Rightarrow \text{BC} = \tan \theta \cdot \text{OC} = \tan \theta \cdot 1 = \tan \theta$$
Suy đi ra diện tích S tam giác $\text{OBC}$ bằng:
$$S_\text{OBC} = \frac{1}{2} \cdot \text{OC} \cdot \text{BC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan \theta = \frac{\tan \theta}{2}$$
Tương tự động với lí vì thế như bên trên, tớ rất cần phải tăng độ quý hiếm vô cùng vô $\tan \theta$,
$$S_\text{OBC} = \frac{|\tan \theta|}{2}$$
Xem thêm: gộp file word
Dựa vô hình bên trên, tớ rất có thể thể hiện một bất đẳng thức xác lập rằng diện tích S tam giác $\text{OAC}$ luôn luôn nhỏ rộng lớn diện tích S lối cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ và luôn luôn nhỏ rộng lớn diện tích S tam giác $\text{OBC}$, hoặc,
$$S_\text{OAC} \leq S_\stackrel\frown{\text{OAC}} \leq S_\text{OBC}$$
Thế những thành quả tính diện tích S vô, tớ với,
$$\frac{|\sin \theta|}{2} \leq \frac{|\theta|}{2} \leq \frac{|\tan \theta|}{2}$$
Bây giờ thực hiện thế này nhằm biểu thức ở thân thuộc phát triển thành $\frac{\sin \theta}{\theta}$ nhằm vận dụng tấp tểnh lý cặp thì quá tuyệt hảo, cơ là vấn đề tất cả chúng ta ước muốn. Thứ nhất, nhân từng biểu thức vô bất đẳng thức mang lại $2$ với mục tiêu nhằm khử số $2$ chuồn, tớ được,
$$|\sin \theta| \leq |\theta| \leq |\tan \theta|$$
Khai triển $|\tan \theta|$, tớ với,
$$|\sin \theta| \leq |\theta| \leq \frac{|\sin \theta|}{|\cos \theta|}$$
Tiếp tục phân tách từng biểu thức vô bất đẳng thức mang lại $|\sin \theta|$, tớ được,
$$\frac{|\sin \theta|}{|\sin \theta|} \leq \frac{|\theta|}{|\sin \theta|} \leq \frac{\left( \frac{|\sin \theta|}{|\cos \theta|} \right)}{|\sin \theta|}$$
Rút gọn gàng một xíu,
$$1 \leq \frac{|\theta|}{|\sin \theta|} \leq \frac{1}{|\cos \theta|}$$
Thực hiện nay hòn đảo ngược tử số và hình mẫu số của từng biểu thức vô bất đẳng thức, Lúc hòn đảo ngược, vết của bất đẳng thức tiếp tục thay cho thay đổi,
$$1 \geq \frac{|\sin \theta|}{|\theta|} \geq |\cos \theta|$$
Bây giờ xét vết của độ quý hiếm vô cùng,
Đối với biểu thức $\frac{|\sin \theta|}{|\theta|}$, Lúc $\theta$ tiến thủ kể từ vùng dương (vùng I) về $0$, thành quả chắc hẳn rằng tiếp tục dương, Lúc $\theta$ tiến thủ kể từ vùng âm (vùng IV) về $0$, thành quả tiếp tục vì thế $\frac{-\sin \theta}{-\theta}$ chắc hẳn rằng cũng tiếp tục dương.
Đối với biểu thức $|\cos \theta|$, Lúc $\theta$ tiến thủ về $0$ là những độ quý hiếm phía trên trục $Ox$, tức là đoạn trực tiếp $\text{OC}$, cho nên vì thế thành quả $\cos \theta$ luôn luôn trực tiếp dương.
Vậy, tớ rất có thể vứt vết độ quý hiếm vô cùng chuồn,
$$1 \geq \frac{\sin \theta}{\theta} \geq \cos \theta$$
Lưu ý, biểu thức bên trên chỉ đúng trong những miền độ quý hiếm kể từ $\frac{\pi}{2}$ cho tới $\frac{-\pi}{2}$, tức là vô vùng I và vùng IV của lối tròn trĩnh đơn vị chức năng, cũng chính vì $\theta$ tiến thủ cho tới $0$ cho nên vì thế nó chỉ ở trong 2 vùng này, tất cả chúng ta ko cần thiết xét tăng nhị vùng còn sót lại cơ.
Bây giờ, đã đi đến khi tăng số lượng giới hạn vô những biểu thức con cái vô bất đẳng thức bên trên,
$$\lim_{\theta \to 0} 1 \geq \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \geq \lim_{\theta \to 0} \cos \theta$$
Ta với,
- $\lim_{\theta \to 0} 1 = 1$
- $\lim_{\theta \to 0} \cos \theta = \cos 0 = 1$
Đã đến thời điểm dùng tấp tểnh lý số lượng giới hạn cặp, cũng chính vì $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$ bị cặp thân thuộc nhị số lượng giới hạn $\lim_{\theta \to 0} 1$ và $\lim_{\theta \to 0} \cos \theta$, tuy nhiên tất cả chúng ta vẫn tính được thành quả ở hai số lượng giới hạn cặp nằm trong đều vì thế $1$, cho nên vì thế số lượng giới hạn ở thân thuộc chắc hẳn rằng cũng tiếp tục vì thế $1$,
$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$$
Thay $\theta$ vì thế $x$, xong xuôi.
Xem thêm: cách dùng camera360
Bình luận